Exercise
Given
a_n = {(\frac{5 n + 3 n^3}{7 n^3 + 2})}^n
Find the limit
\lim _ { n \rightarrow \infty}a_n
Final Answer
Solution
Coming soon…
דבר ראשון, נציב:
n = \infty
ונקבל:
\lim _ { n \rightarrow \infty}{(\frac{5 n + 3 n^3}{7 n^3 + 2})}^n=\frac{\infty}{\infty}
קיבלנו ‘אינסוף חלקֵי אינסוף’. זהו מקרה אי-ודאות, ולכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. נשתמש בכלל השורש (הראשון). לשם כך, נוסיף שורש n-י על כל הביטוי ונבדוק מה קורה באינסוף.
\lim _ { n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=
=\lim _ { n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{{(\frac{5 n + 3 n^3}{7 n^3 + 2})}^n}=
=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{5 n + 3 n^3}{7 n^3 + 2}=
קיבלנו מנה של פולינומים. אם ננסה להציב שוב עכשיו, נקבל עדיין ‘אינסוף חלקֵי אינסוף’. לכן, נחלק את מונה ואת המכנה בחזקה הגבוהה ביותר. בExercise שלנו, נחלק באיבר:
n^3
ונקבל:
=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\frac{5}{n^2} +3}{7 + \frac{2}{n^3}}
מכיוון שמתקיים:
\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{5}{n^2}=0
\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{2}{n^3}=0
נציב שוב ונקבל:
=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\frac{5}{n^2} +3}{7 + \frac{2}{n^3}}=\frac{3}{7}<1
לכן, לפי כלל השורש, מקבלים:
\lim _ { n \rightarrow \infty}a_n = 0
הסבר: שימו לב שבכלל השורש הראשון אנו מוסיפים שורש n-י על כל הביטוי ומתוצאת הגבול הזה אנו מסיקים את תוצאת הגבול של הביטוי המקורי.
טיפ: כלל השורש הראשון טוב בביטויים בעלי חזקה n-ית, כי אז השורש שנוסיף יבטל את החזקה, ונקבל גבול קל יותר לחישוב.
Have a question? Found a mistake? – Write a comment below!
Was it helpful? You can buy me a cup of coffee here, which will make me very happy and will help me upload more solutions!
[\hide]