Calculating Limit of Series – A quotient of polynomials to the power of n – Exercise 689

Exercise

Given

$a_n = {(\frac{5 n + 3 n^3}{7 n^3 + 2})}^n$

Find the limit

$\lim _ { n \rightarrow \infty}a_n$

Final Answer

Show final answer

Solution

Coming soon…

דבר ראשון, נציב:

$n = \infty$

ונקבל:

$\lim _ { n \rightarrow \infty}{(\frac{5 n + 3 n^3}{7 n^3 + 2})}^n=\frac{\infty}{\infty}$

קיבלנו ‘אינסוף חלקֵי אינסוף’. זהו מקרה אי-ודאות, ולכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. נשתמש בכלל השורש (הראשון). לשם כך, נוסיף שורש n-י על כל הביטוי ונבדוק מה קורה באינסוף.

$\lim _ { n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=$

$=\lim _ { n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{{(\frac{5 n + 3 n^3}{7 n^3 + 2})}^n}=$

$=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{5 n + 3 n^3}{7 n^3 + 2}=$

קיבלנו מנה של פולינומים. אם ננסה להציב שוב עכשיו, נקבל עדיין ‘אינסוף חלקֵי אינסוף’. לכן, נחלק את מונה ואת המכנה בחזקה הגבוהה ביותר. בExercise שלנו, נחלק באיבר:

$n^3$

ונקבל:

$=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\frac{5}{n^2} +3}{7 + \frac{2}{n^3}}$

מכיוון שמתקיים:

$\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{5}{n^2}=0$

$\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{2}{n^3}=0$

נציב שוב ונקבל:

$=\lim _ { n \rightarrow \infty} \frac{\frac{5}{n^2} +3}{7 + \frac{2}{n^3}}=\frac{3}{7}<1$

לכן, לפי כלל השורש, מקבלים:

$\lim _ { n \rightarrow \infty}a_n = 0$

הסבר: שימו לב שבכלל השורש הראשון אנו מוסיפים שורש n-י על כל הביטוי ומתוצאת הגבול הזה אנו מסיקים את תוצאת הגבול של הביטוי המקורי.

טיפ: כלל השורש הראשון טוב בביטויים בעלי חזקה n-ית, כי אז השורש שנוסיף יבטל את החזקה, ונקבל גבול קל יותר לחישוב.

Have a question? Found a mistake? – Write a comment below!
Was it helpful? You can buy me a cup of coffee here, which will make me very happy and will help me upload more solutions! 

[\hide]