Calculating Mass Using Triple Integrals – Fixed integration limits – Exercise 4591

Exercise

Calculate the mass of T where T is bounded by the surfaces

$x=0,x=2,y=0,y=3,z=0,z=1$

Given the density function

$f(x,y,z)=x+y+z$

Final Answer

Show final answer

Solution

Coming soon…

נמצא את המסה בעזרת אינטגרל משולש:

$m=\int\int\int_T (x+y+z) dxdydz$

נציב את גבולות האינטגרציה:

$=\int_0^2 dx\int_0^3dy\int_0^1 (x+y+z)dz=$

נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני ביותר) לפי z ונקבל:

$=\int_0^2 dx\int_0^3 [xz+yz+\frac{z^2}{2}]_0^1 dy=$

נציב את גבולות האינטגרציה במקום z:

$=\int_0^2 dx\int_0^3 [x\cdot 1+y\cdot 1+\frac{1^2}{2}-(x\cdot 0+y\cdot 0+\frac{0^2}{2})] dy=$

$=\int_0^2 dx\int_0^3 (x+y+\frac{1}{2}) dy=$

שוב, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני ביותר), הפעם לפי y, ונקבל:

$=\int_0^2 [xy+\frac{y^2}{2}+\frac{1}{2}y]_0^3 dx=$

נציב את גבולות האינטגרציה במקום y:

$=\int_0^2 [x\cdot 3+\frac{3^2}{2}+\frac{1}{2}\cdot 3-(x\cdot 0+\frac{0^2}{2}+\frac{1}{2}\cdot 0)] dx=$

$=\int_0^2 (3x+\frac{9}{2}+\frac{3}{2})dx=$

$=\int_0^2 (3x+6)dx=$

הגענו לאינטגרל מסוים במשתנה אחד – x. נפתור אותו:

$=[3\frac{x^2}{2}+6x]_0^2=$

נציב את גבולות האינטגרציה:

$=3\frac{2^2}{2}+6\cdot 2-(3\frac{0^2}{2}+6\cdot 0)=$

$=6+12=$

$=18$

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

[\hide]