Limit of Series by Definition – A quotient of polynomials to infinity – Exercise 385

Exercise

Given

$a_n = \frac{2 n + 1}{1 - 3 n}$

Prove the following limit

$\lim _ {n \rightarrow \infty} a_n = -\frac{2}{3}$

Proof

Coming soon…

ניקח

$\varepsilon > 0$

נמצא N כל שלכל

$n \geq N$

יתקיים:

$|a_n + \frac {2}{3} | < \varepsilon$

כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו n מופיע פעם אחת. נעשה זאת כך:

$|a_n + \frac {2}{3} | =$

$= |\frac{2 n + 1}{1 - 3 n} + \frac {2}{3} | =$

$|\frac{6 n + 3 +2 - 6 n}{3 - 9 n} | =$

$|\frac{5}{3 - 9 n} | =$

נשים לב שהמונה חיובי, ואילו המכנה שלילי, כי n שואף לאינסוף, כלומר:

$3 - 9 n < 0$

לכן, נסיר את הערך המוחלט כך:

$=\frac{5}{ 9 n - 3} =$

אפשר לסיים כעת, כי קיבלנו מופע אחד של n, אבל נקבל ביטוי מסובך יותר של N. לכן, נמשיך לפתח את הביטוי כדי להגיע למשהו יותר פשוט.

$=\frac{5}{ 6 n + 3 n - 3} =$

$=\frac{5}{ 6 n + 3 ( n - 1 )} =$

$\leq \frac{5}{ 6 n } < \frac {1}{n}$

הגענו לביטוי שבו n מופיע רק פעם אחת וסיימנו.

כעת, בחישוב בצד נמצא את ה-N שיסיים את ההוכחה. לשם כך, נניח שמתקיים:

$\frac { 1 } { n} < \varepsilon$

נבודד את n ונקבל:

$n > \frac {1}{\varepsilon}$

לכן, נבחר N גדול מהביטוי שקיבלנו באגף השני, כלומר ניקח:

$N > \frac {1}{\varepsilon}$

ואז לכל 

$n \geq N$

נקבל שמתקיים:

$|a_n + \frac {2}{3} | < \frac{1}{n}<\frac{1}{N}<\varepsilon$

הערה: N הוא מספר חיובי שלם (גדול מאוד), ולכן יש שמגדירים את N להיות החלק השלם הגדול של הביטוי:

$\frac {1}{\varepsilon}$

כך:

$N = \lceil \frac {1}{\varepsilon} \rceil$

בהגדרה כזו ההוכחה תסתיים כך:

$|a_n + \frac {2}{3} | < \frac{1}{n}<\frac{1}{N}=\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}}=\varepsilon$

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות.