Limit of Function by Definition – Minus e to the power of x as x approaches infinity- Exercise 237

Exercise

Prove the following limit

$\lim _ { x \rightarrow \infty } - e^ { x } = - \infty$

Proof

Coming soon…

ניקח

$m < 0$

צריך למצוא

$T > 0$

כך שלכל x המקיים:

$x > T$

יתקיים:

$f ( x ) < m$

לשם כך, נניח שמתקיים:

$x > T$

ונוכיח בעזרת ההנחה הזאת שמתקיים:

$f ( x ) < m$

כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו המשתנה מופיע רק כפי שהוא מופיע בהנחה, במקרה שלנו רק x.

נעשה זאת כך:

$f ( x ) = - e^ { x }$

הגענו לביטוי שהמשתנה מופיע בו כפי שהוא מופיע בהנחה שלנו.

כעת, בחישוב בצד נניח שמתקיים:

$- e^ { x } < m$

נבודד את x:

$e^ { x } > - m$

$\ln { e^ { x }} > \ln ( {- m } )$

$x > \ln ( {- m } )$

ונגדיר:

$T = \ln ( {- m } )$

עכשיו, נראה שההגדרה שלנו אכן מסיימת את ההוכחה כנדרש. ראשית,

$f ( x ) = - e^ { x }$

נשתמש בהנחה ונקבל:

$- e^ { x } < - e^ { T }$

נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:

$- e^ { T } = - e^ { \ln ( {- m } ) } = - ( - m ) = m$

לסיכום, קיבלנו:

$f ( x ) < m$

וזה אומר לפי הגדרת גבול שמתקיים:

$\lim _ { x \rightarrow \infty } - e^ { x } = - \infty$

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות.