Limit of Function by Definition – A rational function One-sided limit on a square root on x as x approaches zero – Exercise 228

Exercise

Prove the following limit

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 } { x^4 } = \infty$

Proof

Coming soon…

ניקח

$M > 0$

צריך למצוא

$\delta > 0$

כך שלכל x המקיים:

$0 < | x - 0 | < \delta$

יתקיים:

$f ( x ) > M$

לשם כך, נניח שמתקיים:

$0 < | x - 0 | < \delta$

כלומר

$0 < | x | < \delta$

ונוכיח בעזרת ההנחה הזאת שמתקיים:

$f ( x ) > M$

כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו המשתנה מופיע רק כפי שהוא מופיע בהנחה, כלומר

$| x |$

נעשה זאת כך:

$f ( x ) = \frac { 1 } { x^4 } = \frac { 1 } { { | x | }^4 }$

הגענו לביטוי שהמשתנה מופיע בו כפי שהוא מופיע בהנחה שלנו.

כעת, בחישוב בצד נניח שמתקיים:

$\frac { 1 } { { | x | }^4 } > M$

נבודד את הביטוי שמופיע בהנחה:

${ | x | }^4 < \frac { 1 } { M }$

$| x | < ( \frac { 1 } { M } )^ {\frac{1}{4}}$

ונגדיר:

$\delta = ( \frac { 1 } { M } )^ {\frac{1}{4}}$

עכשיו, נראה שההגדרה שלנו אכן מסיימת את ההוכחה כנדרש. כפי שראינו,

$f ( x ) = \frac { 1 } { { | x | }^4 }$

נשתמש בהנחה ונקבל:

$\frac { 1 } { { | x | }^4 } > \frac { 1 } { {\delta}^4 }$

נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:

$\frac { 1 } { {\delta}^4 } = \frac { 1 } { { ( ( \frac { 1 } { M } )^ {\frac{1}{4}}} ) ^4 } = M$

לסיכום, קיבלנו:

$f ( x ) > M$

וזה אומר לפי הגדרת גבול שמתקיים:

$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 } { x^4 } = \infty$

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות.