Limit of Function by Definition – A quotient of functions as x approaches a number – Exercise 163

Exercise

Prove the following limit

$\lim _ { x \rightarrow 1 } \frac { x + 3 } { 1 + \sqrt { x }} = 2$

Proof

Coming soon…

ניקח

$\varepsilon > 0$

צריך למצוא

$\delta > 0$

כך שלכל x המקיים:

$0 < | x - 1 | < \delta$

יתקיים:

$| f ( x ) - 2 | < \varepsilon$

לשם כך, נניח שמתקיים:

$0 < | x - 1 | < \delta$

ונוכיח בעזרת ההנחה הזאת שמתקיים:

$| f ( x ) - 2 | < \varepsilon$

כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו המשתנה מופיע רק כפי שהוא מופיע בהנחה, כלומר

$| x - 1 |$

נעשה זאת כך:

$| f ( x ) - 2 | = | \frac { x + 3 } { 1 + \sqrt { x }} - 2 |$

$= | \frac { x + 3 - 2 ( 1 + \sqrt {x} ) } { 1 + \sqrt {x} } |$

$= | \frac { x + 3 - 2 - 2 \sqrt {x} ) } { 1 + \sqrt {x} } |$

$= | \frac { x + 1 -2 \sqrt {x} } { 1 + \sqrt {x} } |$

$= | \frac { x - 1 + 2 -2 \sqrt {x} ) } { 1 + \sqrt {x} } |$

$= | \frac { x - 1 + 2 ( 1 - \sqrt {x} ) } { 1 + \sqrt {x} } |$

$= | \frac { x - 1 } { 1 + \sqrt {x} } + 2 \frac { 1 - \sqrt {x } } { 1 + \sqrt {x} }|$

$= | \frac { x - 1 } { 1 + \sqrt {x} } + 2 \frac { 1 - x } { ( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 }|$

$= | \frac { x - 1 } { 1 + \sqrt {x} } - 2 \frac { x - 1 } { ( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 }|$

$= | \frac { ( x - 1 ) ( 1 + \sqrt {x} )} { ( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 } - \frac { 2 ( x - 1 )} { ( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 }|$

$= | \frac { ( x - 1 ) ( 1 + \sqrt {x} - 2 ) } { ( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 }|$

$= | \frac { ( x - 1 ) ( \sqrt {x} - 1 ) } { ( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 }|$

$= | x - 1 | \cdot | \sqrt {x} - 1 | \cdot \frac{ 1 } { | 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 | }$

הגענו לביטוי של  x שמופיע בדיוק כמו בהנחה:

$| x - 1 |$

אבל נתקענו עם עוד ביטויים של x:

$| \sqrt { x } - 1 |$

וכן עם:

$\frac{ 1 } { | 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 | }$

לביטויים אלו ננסה למצוא חסם עליון. לשם כך, נניח שמתקיים:

$\delta = 1$

זכרו: הדבר היחיד שאנחנו יכולים להשתמש בו הוא ההנחה שלנו.

אז נתחיל מההנחה:

$| x - 1 | < \delta$

$| x - 1 | < 1$

$-1 < x - 1 < 1$

$0 < x < 2$

$1 < 1 + \sqrt {x} < 1 + \sqrt {2}$

$1 < ( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 < ( 1 + \sqrt {2} )^ 2$

$1 > \frac { 1 } {( 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 } > \frac { 1 } {( 1 + \sqrt {2} )^ 2}$

צד שמאל אינו חשוב לנו. ובצד ימין קיבלנו את החסם המבוקש לביטוי הראשון:

$\frac { 1 } {( 1 + \sqrt {2} )^ 2} < 1$

נמצא חסם לביטוי השני:

$0 < x < 2$

$0 \leq | \sqrt { x } - 1 | < 1$

שוב, צד שמאל אינו חשוב לנו, ובצד ימין קיבלנו את החסם המבוקש.

שימו לב: לא חייב למצוא את החסם המדויק ביותר.

נמשיך מהנקודה שבה עצרנו, ונשתמש בחסמים שמצאנו:

$| f ( x ) - 2 | = | \frac { x + 3 } { 1 + \sqrt { x }} - 2 |$

$= | x - 1 | \cdot | \sqrt {x} - 1 | \cdot \frac{ 1 } { | 1 + \sqrt {x} ) ^ 2 | }$

$< | x - 1 | \cdot 1 \cdot 1 < | x - 1 |$

הגענו לביטוי שהמשתנה מופיע בו רק כפי שהוא מופיע בהנחה שלנו.

כעת, בחישוב בצד נניח שמתקיים:

$| x - 1 | < \varepsilon$

הביטוי של x כפי שהוא מופיע בהנחה כבר מבודד. לכן, נגדיר

$\delta = \varepsilon$

אבל כבר הגדרנו

$\delta = 1$

לכן, ניקח את המינימלי מבין השניים, כלומר נגדיר:

$\delta = \min { \{ 1 , \varepsilon \} }$

נראה ששתי האפשרויות מוכיחות את הנדרש.

אם מתקיים:

$\varepsilon < 1$

אז נקבל:

$\delta = \varepsilon$

וזה מסיים את ההוכחה כנדרש. כפי שראינו,

$| f ( x ) - 2 | < | x - 1 |$

נשתמש בהנחה ונקבל:

$| x - 1 | < \delta$

נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:

$= \delta = \varepsilon$

אפשרות שנייה – אם מתקיים:

$1 < \varepsilon$

אז נקבל:

$\delta = 1$

וגם כך מסיימים את ההוכחה כנדרש. כפי שראינו,

$| f ( x ) - 2 | < | x - 1 |$

נשתמש בהנחה ונקבל:

$| x - 1 | < \delta$

נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:

$\delta = 1 < \varepsilon$

לסיכום, בשתי האפשרויות קיבלנו:

$| f ( x ) - 2 | < \varepsilon$

וזה אומר לפי הגדרת גבול שמתקיים:

$\lim _ { x \rightarrow 1 } \frac { x + 3 } { 1 + \sqrt { x }} = 2$

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות.