Limit of Function by Definition – One-sided limit on a rational function as x approaches a number – Exercise 149

Exercise

Prove the following limit

$\lim _ { x \rightarrow 2^{ + } } \frac { 1 } { x - 2 } = \infty$

Proof

Coming soon…

ניקח

$M > 0$

צריך למצוא

$\delta > 0$

כך שלכל x המקיים:

$0 < | x - 2^{+} | < \delta$

יתקיים:

$f ( x ) > M$

לשם כך, נניח שמתקיים:

$0 < | x - 2^{+} | < \delta$

ונוכיח בעזרת ההנחה הזאת שמתקיים:

$f ( x ) > M$

כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו המשתנה מופיע רק כפי שהוא מופיע בהנחה, כלומר

$| x - 2 |$

נעשה זאת כך:

$f ( x ) = \frac { 1 } { x - 2 }$

מכיוון שאנו מחשבים גבול מימין, הביטוי חיובי ולכן מתקיים:

$f ( x ) = \frac { 1 } { x - 2 } = \frac { 1 } { | x - 2 | }$

הגענו לביטוי שהמשתנה מופיע בו כפי שהוא מופיע בהנחה שלנו.

כעת, בחישוב בצד נניח שמתקיים:

$\frac { 1 } { | x - 2 | } > M$

נבודד את הביטוי שמופיע בהנחה:

$| x - 2 | < \frac { 1 } { M }$

ונגדיר:

$\delta = \frac { 1 } { M }$

עכשיו, נראה שההגדרה שלנו אכן מסיימת את ההוכחה כנדרש. כפי שראינו,

$f ( x ) = \frac { 1 } { | x - 2 | }$

נשתמש בהנחה ונקבל:

$= \frac { 1 } { | x - 2 | } > \frac { 1 } { \delta }$

נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:

$= \frac { 1 } { \delta } = \frac { 1 } { \frac { 1 } { M }} = M$

לסיכום, קיבלנו:

$f ( x ) > M$

וזה אומר לפי הגדרת גבול שמתקיים:

$\lim _ { x \rightarrow 2^{ + } } \frac { 1 } { x - 2 } = \infty$

פתרון מפורט בוידאו

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות.