Exercise
Prove the following limit
\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 } { x^4 } = \infty
Proof
Coming soon…
ניקח
M > 0
צריך למצוא
\delta > 0
כך שלכל x המקיים:
0 < | x - 0 | < \delta
יתקיים:
f ( x ) > M
לשם כך, נניח שמתקיים:
0 < | x - 0 | < \delta
כלומר
0 < | x | < \delta
ונוכיח בעזרת ההנחה הזאת שמתקיים:
f ( x ) > M
כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו המשתנה מופיע רק כפי שהוא מופיע בהנחה, כלומר
| x |
נעשה זאת כך:
f ( x ) = \frac { 1 } { x^4 } = \frac { 1 } { { | x | }^4 }
הגענו לביטוי שהמשתנה מופיע בו כפי שהוא מופיע בהנחה שלנו.
כעת, בחישוב בצד נניח שמתקיים:
\frac { 1 } { { | x | }^4 } > M
נבודד את הביטוי שמופיע בהנחה:
{ | x | }^4 < \frac { 1 } { M }
| x | < ( \frac { 1 } { M } )^ {\frac{1}{4}}
ונגדיר:
\delta = ( \frac { 1 } { M } )^ {\frac{1}{4}}
עכשיו, נראה שההגדרה שלנו אכן מסיימת את ההוכחה כנדרש. כפי שראינו,
f ( x ) = \frac { 1 } { { | x | }^4 }
נשתמש בהנחה ונקבל:
\frac { 1 } { { | x | }^4 } > \frac { 1 } { {\delta}^4 }
נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:
\frac { 1 } { {\delta}^4 } = \frac { 1 } { { ( ( \frac { 1 } { M } )^ {\frac{1}{4}}} ) ^4 } = M
לסיכום, קיבלנו:
f ( x ) > M
וזה אומר לפי הגדרת גבול שמתקיים:
\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 } { x^4 } = \infty
עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות.