Exercise
Determine if the following series convergent or divergent
1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+...
Final Answer
Solution
Coming soon…
נמצא את האיבר הכללי של הטור. נשים לב שבמונה של כל השברים יש את המספר 1, ובמכנה של כל השברים יש מספרים אי-זוגיים בריבוע המתחילים מ-1. הנוסחה לרצף מספרים אי-זוגיים מהמספר 1 היא 2n-1. כך מקבלים שהאיבר הכללי הוא
a_n=\frac{1}{{(2n-1)}^2}
כאשר יש מנה של פולינומים (אפילו עם חזקות מקבוצת המספרים הממשיים ולא רק שלמים), זה רמז להשתמש במבחן ההשוואה השני.
לשם כך, נגדיר טור בעל חזקה מובילה הזהה לטור המקורי. בExercise שלנו, נגדיר את הטור:
b_n=\frac{1}{n^2}
ונחשב את הגבול:
\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=
נציב את הטורים:
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{{(2n-1)}^2}}{\frac{1}{n^2}}=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^2}{{(2n-1)}^2}=
=\lim_{n\rightarrow \infty} {(\frac{n}{2n-1})}^2=
נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:
=\lim_{n\rightarrow \infty} {(\frac{\frac{n}{n}}{\frac{2n-1}{n}})}^2=
=\lim_{n\rightarrow \infty} {(\frac{1}{2-\frac{1}{n}})}^2=
נציב אינסוף ונקבל:
={(\frac{1}{2-0})}^2=\frac{1}{4}
מכיוון שמתקיים:
0<\frac{1}{4}<\infty
ממבחן ההשוואה השני נובע ששני הטורים מתכנסים או מתבדרים יחד. נראה שהטור שהגדרנו
b_n=\frac{1}{n^2}
מתכנס. ראשית, איבריו חיוביים לכל n. שנית, לכל n מתקיים:
n^2<{(n+1)}^2
מכאן, מתקיים:
\frac{1}{n^2}>\frac{1}{{(n+1)}^2}
כלומר, קיבלנו שמתקיים:
b_n>b_{n+1}
זה אומר שהסדרה מונוטונית יורדת. שני התנאים של מבחן האינטגרל מתקיימים, לכן נוכל להשתמש במבחן זה.
לשם כך, נגדיר פונקציה שתקיים:
f(n)=b_n
כלומר, נגדיר את הפונקציה:
f(x) =\frac{1}{x^2}
כעת, נחשב את האינטגרל על הפונקציה. גבולות האינטגרציה יהיו קצות התחום של הטור המקורי. נקבל:
\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}dx
זה אינטגרל לא אמיתי עם גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נוסיף גבול לאינסוף ונקבל:
=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_1^{t} \frac{1}{x^2}dx=
=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_1^{t} x^{-2}dx=
קיבלנו אינטגרל מיידי. נשתמש בנוסחת אינטגרל המתאימה ונקבל:
=\lim_{t\rightarrow \infty}[\frac{x^{(-1)}}{-1}]_{1}^{t}=
=\lim_{t\rightarrow \infty}[\frac{-1}{x}]_{1}^{t}=
נציב את גבולות האינטגרציה (גבול עליון פחות גבול תחתון):
=\lim_{t\rightarrow \infty}(\frac{-1}{t}-\frac{-1}{1})=
נציב אינסוף ונקבל:
=\lim_{t\rightarrow \infty}(0-(-1))=1<\infty
קיבלנו תוצאה סופית, ולכן האינטגרל מתכנס. מכאן, לפי מבחן האינטגרל, גם הטור מתכנס.
טיפ: בעזרת מבחן האינטגרל כמו לעיל, אפשר להוכיח התכנסות של כל טור מהצורה
c_n=\frac{1}{n^p}
כאשר p מקיים
p>1
עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות.
[\hide]